线性相关与线性无关

实验目的

理解线性相关与线性无关的定义，会用几何方法判断向量组的相关性。

实验原理

向量组 v1,…,vk，若存在不全为零的 c1,…,ck 使 c1v1 + … + ckvk = 0，则线性相关；若仅当所有系数为 0 时才成立，则线性无关。两个向量线性相关当且仅当共线；R^3 中三个向量线性相关当且仅当共面；R^2 中任意三个向量必线性相关。

实验器材

• 向量组（可拖动）
• 系数调节控件
• 线性组合结果
• 共线或共面提示

实验步骤

1. 观察两个不共线的向量，尝试用非零系数组合出零向量。
2. 拖动其中一个向量，使它与另一个共线。
3. 再次调节系数，看能否用不全为零的系数得到零向量。
4. 加入第三个向量，观察它能否由前两个表示。
5. 总结线性相关与无关时几何位置的区别。

实验现象与结论

两个向量共线时线性相关，不共线时线性无关；三维中三个向量共面时线性相关。向量组线性相关时，其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，张成的空间维数小于向量个数。

常见问题

含有零向量的向量组一定线性相关吗？

是。取零向量的系数为 1、其余系数为 0，即得不全为零的系数使组合为零。

怎样用行列式判断相关性？

n 个 n 维向量组成方阵，行列式不为 0 则线性无关，为 0 则线性相关。