线性组合与张成

实验目的

理解线性组合与张成的概念，会判断向量组张成的是直线、平面还是整个空间。

实验原理

给定向量 v1,…,vk 和实数 c1,…,ck，c1v1 + … + ckvk 称为这组向量的线性组合。所有线性组合的集合 span{v1,…,vk} 是一个子空间。平面内两个不共线向量张成整个平面；两个共线的非零向量只张成过原点的一条直线；零向量只张成原点。

实验器材

• 向量 v1、v2（可拖动）
• 系数 c1、c2 调节控件
• 线性组合向量
• 张成区域显示

实验步骤

1. 观察两个向量 v1、v2 的方向和长度。
2. 拖动系数 c1、c2，观察组合向量终点的位置。
3. 让系数在正负范围内变化，观察终点能到达的区域。
4. 把 v2 拖到与 v1 共线，再次改变系数。
5. 比较共线与不共线两种情形下的张成区域。

实验现象与结论

两个向量不共线时，系数取遍实数，组合向量终点可到达平面内任意一点；两向量共线时，终点只在一条过原点的直线上。结论：张成的维数取决于向量组中线性无关向量的个数。

常见问题

零向量的张成是什么？

只有零向量一个元素，即零子空间。

三个二维向量一定张成整个平面吗？

不一定。若三个向量都共线，只能张成一条直线。