二项分布与泊松分布互动演示

实验目的

理解二项分布与泊松分布的参数意义，认识泊松近似。

实验原理

二项分布 X~B(n, p)：P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ，E(X) = np，D(X) = np(1−p)。泊松分布 X~P(λ)：P(X=k) = λᵏ·e^(−λ)/k!，E(X) = D(X) = λ。当 n 较大、p 较小时，取 λ = np，B(n, p) 可用 P(λ) 近似。

实验器材

• 二项分布概率柱状图
• 泊松分布概率柱状图
• 参数滑块 n、p
• 参数滑块 λ
• 期望与方差读数

实验步骤

1. 设定 n 和 p，观察二项分布柱状图的形状和峰值位置。
2. 改变 p，观察分布偏向及对称性的变化。
3. 增大 n，观察分布变得更分散并趋于钟形。
4. 切换到泊松分布，调节 λ，观察形状变化。
5. 令 λ = np，叠加两种分布并逐步增大 n、减小 p。
6. 比较各 k 处的概率值和期望、方差读数。

实验现象与结论

二项分布在 p = 0.5 时左右对称，p 偏小时右偏。λ 较小时泊松分布右偏，λ 增大后趋于对称。当 n 较大、p 较小且 λ = np 时，两分布的柱状图几乎重合。结论：稀有事件的二项概率可用泊松分布近似计算。

常见问题

什么时候可以用泊松分布近似二项分布？

一般在 n 较大、p 较小时，取 λ = np 近似，n 越大、p 越小，效果越好。

泊松分布为什么期望等于方差？

这是泊松分布的性质，参数 λ 同时是期望和方差，可由分布公式推导得出。