离散型与连续型随机变量

实验目的

区分离散型与连续型随机变量，理解分布列与概率密度的含义。

实验原理

离散型：P(X = xₖ) = pₖ，pₖ ≥ 0 且 Σpₖ = 1。连续型：存在概率密度 f(x) ≥ 0 且 ∫f(x)dx = 1，P(a < X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x)dx，即曲线下的面积。连续型随机变量取任意单点的概率为0。分布函数 F(x) = P(X ≤ x) 对两类变量都适用。

实验器材

• 离散型分布的概率柱状图
• 连续型分布的密度曲线
• 可调的取值区间 a、b
• 区间概率读数
• 分布函数 F(x) 的图像

实验步骤

1. 观察离散分布的柱状图，读出各取值对应的概率。
2. 验证所有柱高之和等于1。
3. 切换到连续分布，观察密度曲线的形状。
4. 拖动区间端点 a、b，读出曲线下面积即概率。
5. 把区间缩成一个点，观察概率趋近于0。
6. 对照两类变量的分布函数图像，比较阶梯形与连续曲线。

实验现象与结论

离散型变量的概率集中在若干个点上，各点概率之和为1，分布函数呈阶梯形。连续型变量在单点的概率为0，区间概率等于密度曲线下的面积，分布函数是连续曲线。结论：离散型用概率求和，连续型用积分求面积。

常见问题

概率密度 f(x) 的值可以大于1吗？

可以。f(x) 不是概率，只要曲线下总面积为1即可，区间概率才是面积。

为什么连续型随机变量取单点的概率为0？

单点对应的区间长度为0，曲线下面积为0，所以概率为0。