正态分布曲线互动演示

实验目的

理解参数 μ、σ 对正态曲线的影响，掌握 3σ 原则与标准化。

实验原理

X~N(μ, σ²) 的密度函数为 f(x) = 1/(σ√(2π))·exp[−(x−μ)²/(2σ²)]，曲线关于 x = μ 对称，总面积为1。μ 决定位置，σ 决定胖瘦。P(|X−μ|<σ) ≈ 68.27%，P(|X−μ|<2σ) ≈ 95.45%，P(|X−μ|<3σ) ≈ 99.73%。令 Z = (X−μ)/σ，则 Z~N(0, 1)。

实验器材

• 正态分布密度曲线
• 均值 μ 滑块
• 标准差 σ 滑块
• 可调概率区间
• 区间概率与标准正态分布对照

实验步骤

1. 保持 μ = 0、σ = 1，观察标准正态分布曲线。
2. 改变 μ，观察曲线沿横轴平移，对称轴随之移动。
3. 改变 σ，观察曲线变高变瘦或变矮变胖。
4. 选取区间 μ±σ、μ±2σ、μ±3σ，读出对应概率。
5. 拖动区间端点，观察概率随曲线下面积变化。
6. 对照标准化 Z = (X−μ)/σ，比较不同参数曲线的区间概率。

实验现象与结论

μ 改变曲线位置，形状不变；σ 越小曲线越高越集中，σ 越大曲线越矮越分散，但曲线下总面积始终为1。区间 μ±σ、μ±2σ、μ±3σ 的概率分别约为68.27%、95.45%、99.73%。结论：正态分布由 μ 和 σ 完全确定。

常见问题

σ 变大，正态曲线怎么变？

曲线变得更矮更宽，数据更分散；对称轴位置不变，总面积仍为1。

为什么要把正态分布标准化？

标准化后可统一用标准正态分布表查概率，方便计算任意正态分布的区间概率。