空间角：异面直线所成角、线面角与二面角

实验目的

理解三类空间角的定义和范围，掌握作角、求角的基本方法。

实验原理

异面直线所成角：平移使其相交，取锐角或直角，范围(0,π/2]。线面角：直线与它在平面内射影所成的角，范围[0,π/2]。二面角：在棱上一点分别在两个面内作棱的垂线，所成角即平面角，范围[0,π]。向量法中，设方向向量为a、b，平面法向量为n，则cosθ=|a·b|/(|a||b|)，sinθ=|a·n|/(|a||n|)。

实验器材

• 正方体或长方体模型
• 两条异面直线
• 直线及其所在平面
• 直线在平面内的射影
• 两个相交平面及其交线
• 角度标注

实验步骤

1. 选择几何体，旋转观察，找到所要研究的直线和平面。
2. 异面直线：平移其中一条使它与另一条相交，标出夹角。
3. 线面角：过直线上一点作平面的垂线，连出射影，标出线面角。
4. 二面角：在交线上取点，分别在两面内作交线的垂线，标出平面角。
5. 读出角度值，再用向量法计算并对照。

实验现象与结论

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成的角为60°。体对角线AC1与底面ABCD所成角θ满足sinθ=√3/3。无论怎样平移，异面直线所成角的大小不变。二面角的大小由平面角表示，与所取的点无关。

注意事项

• 作二面角的平面角时，两条射线都必须垂直于棱。
• 用法向量求二面角时，要根据图形判断是锐角还是钝角。
• 线面角用sin计算，不要误用cos。

常见问题

三种空间角的取值范围分别是什么？

异面直线所成角为(0,π/2]，线面角为[0,π/2]，二面角为[0,π]。

用向量法求线面角要注意什么？

设直线方向向量为a、平面法向量为n，则sinθ=|a·n|/(|a||n|)，是正弦而不是余弦。