空间向量与坐标运算

实验目的

掌握空间向量的坐标表示和坐标运算,会用坐标判断向量的平行、垂直并求长度、夹角。

实验原理

设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2),a·b=x1x2+y1y2+z1z2,|a|=√(x1²+y1²+z1²)。cosθ=a·b/(|a||b|)。a⊥b等价于a·b=0。若A、B坐标已知,则向量AB=B的坐标减去A的坐标。

实验器材

• 空间直角坐标系
• 向量a
• 向量b
• 坐标输入区
• 运算结果显示

实验步骤

1. 观察空间直角坐标系的x、y、z轴
2. 输入或调整向量a、b的坐标
3. 观察向量在坐标系中的位置
4. 进行加、减、数乘运算,对照坐标结果
5. 计算数量积、模长和夹角余弦值
6. 改变坐标,判断两向量是否平行或垂直

实验现象与结论

向量的加减和数乘按对应坐标进行。数量积为0时两向量垂直。若一个向量的坐标是另一个向量坐标的相同倍数,则两向量平行。夹角余弦值由数量积与两向量模长的乘积之比求得。

注意事项

• 计算夹角时,向量不能是零向量
• 由点求向量时,用终点坐标减起点坐标

常见问题

空间向量垂直的坐标条件是什么?

两个非零向量垂直,当且仅当它们的数量积为0,即x1x2+y1y2+z1z2=0。

已知两点坐标怎样求向量坐标?

用终点坐标减去起点坐标,对应分量相减即可。