正切与单位圆的切线

实验目的

理解正切线，会用单位圆说明 tanα 的符号、变化及无意义的情形。

实验原理

设单位圆与x轴正半轴交于A(1, 0)，过A作圆的切线（x=1）。角α的终边或其反向延长线与该切线交于T，则 tanα=AT 的有向长度，即T的纵坐标。同时 tanα=sinα/cosα（cosα≠0），当 α=π/2+kπ（k∈Z）时 tanα 无意义。

实验器材

• 单位圆
• 过点A(1,0)的切线
• 可旋转的终边
• 交点T及有向线段AT
• tanα数值显示

实验步骤

1. 在第一象限转动终边，找到终边与切线的交点T。
2. 读出T的纵坐标，与 tanα 的数值比较。
3. 转到第二象限，观察需要延长终边的反向延长线才能与切线相交。
4. 转到第三、第四象限，观察 tanα 的符号变化。
5. 使终边接近90°，观察交点T的变化，并在90°处观察交点是否存在。

实验现象与结论

第一、三象限 tanα 为正，第二、四象限 tanα 为负。角α接近90°时，交点T沿切线远离A，tanα 的绝对值迅速增大；终边在y轴上时，终边与切线平行，没有交点，tanα 无意义。

注意事项

• 第二、三象限需用终边的反向延长线求交点。

常见问题

为什么 tan90° 没有意义？

90°时 cosα=0，且终边与切线平行，没有交点，所以 tanα 无意义。

正切线是哪条线段？

过A(1, 0)作的切线上，从A到终边（或反向延长线）交点T的有向线段AT。