平方关系 sin²α + cos²α = 1

实验目的

理解平方关系的几何来源，并会由其中一个值求另一个值。

实验原理

单位圆的方程为 x²+y²=1。角α终边与单位圆交点为P(cosα, sinα)，代入得 sin²α+cos²α=1。由此可得 sinα=±√(1-cos²α)，cosα=±√(1-sin²α)，其符号由α所在象限决定。

实验器材

• 单位圆
• 可拖动的点P
• sinα、cosα 数值显示
• sin²α、cos²α 数值显示
• 两者之和的显示

实验步骤

1. 拖动点P到某一位置，记录 sinα 和 cosα。
2. 分别计算并读出 sin²α 与 cos²α 的值。
3. 把二者相加，查看结果是否为1。
4. 换到其他象限及坐标轴上的点，重复验证。
5. 已知 sinα，结合象限求 cosα，检验结果。

实验现象与结论

无论角α取何值，sin²α+cos²α 的和始终等于1。此关系本质上是单位圆上的点满足 x²+y²=1。已知一个函数值求另一个时，会得到正负两个值，需根据象限取舍。

注意事项

• 开方求值时必须根据角所在象限确定正负号。
• 注意 sin²α 表示 (sinα)²，不是 sin(α²)。

常见问题

sin²α+cos²α=1 对所有角都成立吗？

对任意角α都成立，因为终边与单位圆的交点始终满足 x²+y²=1。

已知 sinα 求 cosα 为什么要看象限？

开方得 cosα=±√(1-sin²α)，要由α所在象限判断 cosα 的正负。