单位圆与三角函数诱导公式

实验目的

借助单位圆的对称性，推导并理解诱导公式。

实验原理

设角α的终边与单位圆交于P(cosα, sinα)。−α与α关于x轴对称：sin(−α)=−sinα，cos(−α)=cosα。π−α与α关于y轴对称：sin(π−α)=sinα，cos(π−α)=−cosα。π+α与α关于原点对称：sin(π+α)=−sinα，cos(π+α)=−cosα。

实验器材

• 单位圆
• 可拖动的角α
• 对称角 −α、π−α、π+α
• 交点坐标显示
• 坐标轴与对称线

实验步骤

1. 拖动角α，观察终边与单位圆交点P的坐标(cosα, sinα)
2. 选择角−α，比较其交点与P的位置关系和坐标
3. 选择角π−α，观察交点与P关于y轴对称，比较横纵坐标
4. 选择角π+α，观察交点与P关于原点对称，比较坐标
5. 改变α所在象限，验证各公式仍成立

实验现象与结论

−α的交点与P关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反；π−α的交点与P关于y轴对称；π+α的交点与P关于原点对称。由此得到相应的诱导公式，并可概括为「奇变偶不变，符号看象限」。

常见问题

诱导公式为什么能用单位圆推导？

因为角α与−α、π−α、π+α的终边和单位圆的交点互相对称，坐标只有符号变化，由此得到公式。

「奇变偶不变，符号看象限」是什么意思？

对 kπ/2±α，k为奇数时正弦与余弦互变，k为偶数时不变；符号按把α看作锐角时原函数在该象限的符号确定。