正四面体的性质与计算

实验目的

掌握正四面体的结构特征，会用棱长表示高、体积及球半径。

实验原理

设棱长为a，底面外接圆半径为√3a/3，则高h=√(a²-a²/3)=√6a/3。体积V=(1/3)·(√3a²/4)·h=√2a³/12，表面积S=√3a²。中心把高分成3∶1，所以R=√6a/4，r=√6a/12。相邻两个面所成二面角的余弦值为1/3，对棱互相垂直。

实验器材

• 正四面体模型
• 底面与高
• 底面中心
• 对棱
• 外接球与内切球
• 二面角标注

实验步骤

1. 旋转正四面体，数一数顶点、棱和面，确认六条棱相等。
2. 作出一个顶点到底面的高，找到垂足，即底面正三角形的中心。
3. 测量高的长度，与公式h=√6a/3核对。
4. 显示中心，观察它把高分成3∶1，并显示内外接球。
5. 选取两条对棱，观察它们是否垂直。
6. 标出相邻两面的二面角，读出其大小。

实验现象与结论

高的垂足是底面正三角形的中心，h=√6a/3。体积为√2a³/12，外接球半径是高的3/4，内切球半径是高的1/4。对棱所成的角为90°，侧棱与底面所成角的余弦为√3/3，相邻两面所成二面角约为70.5°。

注意事项

• 区分“正四面体”与“正三棱锥”，后者只要求底面为正三角形。
• 记公式时注意R=3r，不要把外接球和内切球半径记反。

常见问题

正四面体的体积公式是什么？

棱长为a时，V=√2a³/12，可由底面积√3a²/4和高√6a/3按棱锥体积公式算出。

怎样快速求正四面体外接球半径？

外接球球心在高上，且R=3h/4，故R=√6a/4。也可把正四面体放入正方体中求解。