柱、锥、台、球的表面积与体积

实验目的

熟悉柱、锥、台、球的表面积与体积公式，并能代入计算。

实验原理

圆柱 S=2πr(r+l)，V=πr²h；圆锥 S=πr(r+l)，V=πr²h/3；圆台 S=π(r′²+r²+r′l+rl)，V=πh(r′²+r′r+r²)/3；球 S=4πR²，V=4πR³/3。其中l为母线长，h为高。棱柱 V=Sh，棱锥 V=Sh/3。

实验器材

• 圆柱
• 圆锥
• 圆台
• 球
• 半径、高、母线等参数滑块
• 表面积与体积读数

实验步骤

1. 选择要研究的几何体。
2. 调整半径、高、母线等参数。
3. 读出表面积和体积的数值。
4. 代入公式手算，与读数对照验证。
5. 令圆台上底半径趋近0或下底半径，观察它变成圆锥或圆柱。

实验现象与结论

同底等高的圆锥体积是圆柱的三分之一；球半径变为原来的2倍时，表面积变为4倍，体积变为8倍；圆台上底半径为0时变为圆锥，与下底半径相等时变为圆柱，公式随之化为对应形式。

常见问题

圆台上底半径为0时公式变成什么？

r′=0时圆台变成圆锥，表面积公式化为πr(r+l)，体积公式化为πr²h/3。

圆锥体积为什么是圆柱的三分之一？

同底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3，即V=πr²h/3，这是教材给出的结论。