空间几何体的外接球与内切球

实验目的

理解外接球、内切球的概念，掌握确定球心并求球半径的常用方法。

实验原理

外接球球心到各顶点距离相等，内切球球心到各面距离相等。长方体棱长为a、b、c时，外接球直径等于体对角线，R=√(a²+b²+c²)/2。正方体内切球半径r=a/2。多面体内切球可用等体积法：V=(1/3)·S表·r。正四面体棱长为a时，R=√6a/4，r=√6a/12。

实验器材

• 正方体模型
• 长方体模型
• 正四面体模型
• 外接球
• 内切球
• 球心与半径标注
• 切点与顶点标记

实验步骤

1. 选择几何体，先显示几何体本身，观察顶点、棱和面。
2. 显示外接球，旋转视角，确认每个顶点都在球面上。
3. 找出球心位置，测量球心到各顶点的距离。
4. 显示内切球，观察球与各个面的切点位置。
5. 改变棱长或边长，比较球半径的变化，对照公式验证。

实验现象与结论

正方体的外接球过八个顶点，球心是体对角线的中点，R=√3a/2。内切球与六个面的中心相切，r=a/2。正四面体的内切球球心与外接球球心重合，R∶r=3∶1。球心位置由几何体的对称性决定。

注意事项

• 外接球半径看顶点，内切球半径看面，不要混淆。
• 并非所有多面体都有内切球，使用前先确认条件。

常见问题

长方体的外接球半径怎么求？

长方体的体对角线就是外接球的直径，R=√(a²+b²+c²)/2，其中a、b、c为三条棱长。

怎样求棱锥内切球的半径？

用等体积法：把球心与各顶点相连分割成小棱锥，得V=(1/3)S表·r，所以r=3V/S表。