由单位圆生成正弦曲线

实验目的

理解正弦曲线是由单位圆上点的纵坐标随角变化描出的。

实验原理

设角x的终边与单位圆交于P，则P的纵坐标为sin x。以x为横坐标、sin x为纵坐标描点，得到y=sin x的图像。角每增加2π，终边回到原位置，函数值重复，所以图像每隔2π重复一次，周期为2π。

实验器材

• 单位圆
• 转动的点P与终边
• P的纵坐标（正弦线）
• 右侧的函数坐标系
• 角x的弧度显示

实验步骤

1. 观察单位圆上点P的初始位置，x=0时纵坐标为0
2. 拖动或播放，使P逆时针转动，注意角x的变化
3. 观察P的纵坐标如何被对应到右侧坐标系的同一高度
4. 继续转动，查看描出的轨迹形状
5. 转过一整圈后继续，观察曲线重复出现

实验现象与结论

x从0增大到π/2时，纵坐标从0增到1；到π时回到0；到3π/2时降到−1；到2π时回到0。描出的轨迹是一条波浪形的正弦曲线，每转一圈重复一次，说明正弦函数的周期为2π，值域为[−1, 1]。

常见问题

为什么正弦曲线的最大值是1？

单位圆半径为1，点P的纵坐标最大为1、最小为−1，所以sin x的值域是[−1, 1]。

正弦曲线为什么会重复出现？

角每增加2π，终边回到原位置，P的纵坐标不变，所以图像每隔2π重复一次。