幂函数 α 取 1、2、3、1/2、−1 的图像与性质

实验目的

掌握五个常见幂函数的图像与性质，并能比较它们的异同。

实验原理

五个函数分别为 y=x，y=x²，y=x³，y=x^(1/2)（即 √x），y=x⁻¹（即 1/x）。y=x、x³、1/x 是奇函数，y=x² 是偶函数，y=√x 非奇非偶。y=x、x³ 在 R 上单调递增，x² 在 (−∞,0] 递减、[0,+∞) 递增，√x 在 [0,+∞) 递增，1/x 在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上分别递减。所有图像都过点 (1,1)。

实验器材

• y=x 的图像
• y=x² 的图像
• y=x³ 的图像
• y=x^(1/2) 的图像
• y=x⁻¹ 的图像
• 公共点 (1,1)

实验步骤

1. 逐一显示五条曲线，认出每条曲线对应的函数。
2. 观察每条曲线在第一象限的走势，比较增减性。
3. 观察图像是否关于原点或 y 轴对称，判断奇偶性。
4. 找出它们都经过的点 (1,1)，以及过原点的曲线。
5. 对照图像，填写定义域、值域、奇偶性、单调性的对比表。

实验现象与结论

五条曲线都过点 (1,1)。y=x、x²、x³、√x 过原点，y=1/x 不过原点，并以坐标轴为渐近线。定义域：x、x²、x³ 为 R，√x 为 [0,+∞)，1/x 为 x≠0。在第一象限内，α>0 时函数递增，α=−1 时递减。

常见问题

幂函数 y=1/x 在整个定义域上是减函数吗？

不是。它在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上各自递减，不能说在整个定义域上递减。

所有幂函数都过点 (1,1) 吗？

是的。当 x=1 时，对任意 α 都有 1ᵅ=1，所以图像都过 (1,1)。