幂函数的奇偶性

实验目的

根据图像对称性和定义，判断常见幂函数的奇偶性。

实验原理

奇偶性须先看定义域是否关于原点对称，再比较 f(-x) 与 f(x)。例如 y=x² 满足 f(-x)=f(x)，是偶函数；y=x³ 和 y=x^(-1) 满足 f(-x)=-f(x)，是奇函数；y=x^(1/2) 的定义域为 [0,+∞)，不关于原点对称，是非奇非偶函数。

实验器材

• 幂函数图像
• 可调节的参数 α
• 偶函数例子 y=x²、y=x^(-2)
• 奇函数例子 y=x、y=x³、y=x^(-1)
• 非奇非偶例子 y=x^(1/2)

实验步骤

1. 取 α=2，观察图像是否关于 y 轴对称。
2. 取 α=3 和 α=-1，观察图像是否关于原点对称。
3. 取 α=1/2，观察定义域，判断有无对称性。
4. 对每个例子写出定义域，并比较 f(-x) 与 f(x)。
5. 归纳：定义域对称且 f(-x)=f(x) 为偶，f(-x)=-f(x) 为奇。

实验现象与结论

y=x²、y=x^(-2) 的图像关于 y 轴对称，是偶函数；y=x、y=x³、y=x^(-1) 的图像关于原点对称，是奇函数；y=x^(1/2) 的图像只在 x≥0 部分出现，是非奇非偶函数。

常见问题

怎样判断幂函数的奇偶性？

先看定义域是否关于原点对称，再比较 f(-x) 与 f(x)：相等为偶，互为相反数为奇。

y=x^(1/2) 为什么是非奇非偶函数？

它的定义域是 [0,+∞)，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数。