y=a^x 与 y=(1/a)^x 的对称性

实验目的

理解底数互为倒数的两个指数函数图像关于 y 轴对称。

实验原理

因为 (1/a)^x = a^(-x)，若点 (x0, y0) 在 y = a^x 上，则 y0 = a^(x0)，于是点 (-x0, y0) 满足 y = a^(-x)，即在 y = (1/a)^x 上。这两点关于 y 轴对称，所以两个函数的图像关于 y 轴对称。

实验器材

• 底数 a 的滑块
• 函数 y = a^x 的图像
• 函数 y = (1/a)^x 的图像
• 图像上的对应点
• y 轴（对称轴）

实验步骤

1. 取 a=2，同时显示 y = 2^x 与 y = (1/2)^x。
2. 观察两条曲线相对 y 轴的位置关系。
3. 在 y = 2^x 上取一点，读出其对称点的坐标。
4. 拖动 a，改变底数，检验对称关系是否保持。
5. 用 (1/a)^x = a^(-x) 解释对称的原因。

实验现象与结论

两条曲线关于 y 轴对称，并交于点 (0,1)；其中一条单调递增，另一条单调递减。改变 a 后，对称关系不变。结论：y = a^x 与 y = (1/a)^x 的图像关于 y 轴对称。

注意事项

• 注意 a 与 1/a 必须同时满足大于 0 且不等于 1。

常见问题

为什么 y=(1/a)^x 可以写成 y=a^(-x)？

根据负指数幂的规定，(1/a)^x = (a^(-1))^x = a^(-x)。

y=2^x 与 y=2^(-x) 的图像有什么关系？

二者关于 y 轴对称，y=2^(-x) 即 y=(1/2)^x，它在 R 上单调递减。