三角函数的单调性与最值

实验目的

掌握正弦、余弦、正切函数的单调区间，以及正弦、余弦函数的最值点。

实验原理

y=sin x在[−π/2+2kπ, π/2+2kπ]上递增，在[π/2+2kπ, 3π/2+2kπ]上递减；x=π/2+2kπ时取最大值1，x=−π/2+2kπ时取最小值−1。y=cos x在[−π+2kπ, 2kπ]上递增，在[2kπ, π+2kπ]上递减；x=2kπ时最大值为1，x=π+2kπ时最小值为−1。y=tan x在(−π/2+kπ, π/2+kπ)上递增。

实验器材

• y=sin x的图像
• y=cos x的图像
• y=tan x的图像
• 区间高亮标记
• 最大值、最小值点标记

实验步骤

1. 显示y=sin x，观察哪些区间曲线上升、哪些区间下降
2. 读出最高点和最低点的横坐标与函数值
3. 切换到y=cos x，用同样方法找出递增、递减区间
4. 写出最大值、最小值及取得它们的x值
5. 显示y=tan x，观察每一段内的变化趋势

实验现象与结论

正弦、余弦曲线在每个周期内先升后降或先降后升，最大值为1、最小值为−1，且在每个周期内各取到一次。正切曲线在每个相邻渐近线之间都是递增的，函数值可以任意大或任意小，所以没有最大值和最小值。

常见问题

正弦函数的单调递增区间怎么写？

[−π/2+2kπ, π/2+2kπ]，k∈Z；递减区间是[π/2+2kπ, 3π/2+2kπ]，k∈Z。

正切函数在整个定义域上是增函数吗？

不是。它只在每个区间(−π/2+kπ, π/2+kπ)内递增，不能说在整个定义域上单调。