函数图像变换的先后顺序

实验目的

理解 A、ω、φ 对图像的影响，掌握两种变换顺序中平移量的区别。

实验原理

设 ω>0。路径一：先把 y=sin x 的图像向左（φ>0）平移 φ 个单位，得 y=sin(x+φ)，再把横坐标变为原来的 1/ω 倍，得 y=sin(ωx+φ)。路径二：先把横坐标变为原来的 1/ω 倍，得 y=sin ωx，再向左平移 φ/ω 个单位，得到同一条曲线。纵坐标变为原来的 A 倍，得 y=Asin(ωx+φ)。

实验器材

• 基准曲线 y=sin x
• 参数 A、ω、φ 的调节控件
• 变换顺序的选择
• 每一步变换后的中间曲线
• 最终曲线 y=Asin(ωx+φ)
• 单位圆上的动点与对应图像点

实验步骤

1. 观察基准曲线 y=sin x 及其周期、最大值和零点。
2. 设定 φ 的值，选择「先平移后伸缩」，观察向左或向右平移的距离。
3. 再调节 ω，观察横坐标缩短或伸长后曲线的变化。
4. 改选「先伸缩后平移」，记录此时需要平移的距离。
5. 比较两种顺序的最终曲线，并调节 A 观察纵向伸缩。

实验现象与结论

两种顺序得到的最终曲线完全重合。先平移后伸缩时平移 |φ| 个单位；先伸缩后平移时平移 |φ|/ω 个单位。ω 改变周期，T=2π/ω；A 改变最大值和最小值，最大值为 A。

常见问题

为什么先伸缩后平移时，平移量是 φ/ω 而不是 φ？

因为 sin(ωx+φ)=sin[ω(x+φ/ω)]，变换作用在 x 上，要看 x 本身移动了多少，所以是 φ/ω。

φ>0 时图像是向左还是向右平移？

φ>0 时，y=sin(x+φ) 的图像由 y=sin x 向左平移 φ 个单位得到；φ<0 则向右平移。