底数 a 对指数函数图像的影响

实验目的

通过改变底数 a，归纳指数函数图像随 a 变化的规律。

实验原理

当 a>1 时，y = a^x 在 R 上单调递增，x 向左趋于负无穷时图像无限接近 x 轴；当 0<a<1 时，函数单调递减，x 向右增大时图像无限接近 x 轴。两种情形的图像都过点 (0,1)。在 x>0 一侧，a>1 时 a 越大图像越陡。

实验器材

• 底数 a 的滑块
• 平面直角坐标系
• 函数 y = a^x 的图像
• 定点 (0,1)
• x 轴（图像的渐近线）

实验步骤

1. 将 a 设为大于 1 的值，如 2，观察图像走向。
2. 增大 a 到 3、5 等，比较图像的陡峭程度。
3. 将 a 减小并靠近 1，观察图像逐渐变平。
4. 使 a 小于 1，如 1/2，观察图像由升变降。
5. 比较两种情形下图像与 x 轴、点 (0,1) 的位置关系。

实验现象与结论

a>1 时图像从左向右上升，a 越大，x>0 部分越陡；0<a<1 时图像从左向右下降，a 越小，x<0 部分越陡。所有图像都过 (0,1)，且都在 x 轴上方。结论：a 的大小决定函数的单调性和变化快慢。

注意事项

• 底数 a 必须满足 a>0 且 a≠1。

常见问题

为什么指数函数的底数 a 不能等于 1？

a=1 时 y=1^x=1 是常数函数，图像是一条水平直线，不具备指数函数的性质，所以规定 a>0 且 a≠1。

底数 a 越大，图像是不是整体越高？

不是。x>0 时 a 越大 y 越大，x<0 时 a 越大 y 反而越小，所有图像都过 (0,1)。