对数函数的定义域、单调性与值域

实验目的

通过观察图像，归纳对数函数的定义域、值域和单调性。

实验原理

对数函数 y = log_a x 的定义域为 (0, +∞)，值域为 R，图像恒过点 (1, 0)，且位于 y 轴右侧，以 y 轴为渐近线。当 a>1 时，函数在 (0, +∞) 上单调递增；当 0<a<1 时，函数在 (0, +∞) 上单调递减。

实验器材

• 对数函数动态图像
• 底数 a 的调节控件
• 平面直角坐标系
• 定点 (1, 0)
• y 轴（渐近线）

实验步骤

1. 观察坐标系中 y = log_a x 的图像，记下当前底数 a 的取值。
2. 将 a 调到大于 1 的值，观察曲线从左到右的升降趋势。
3. 将 a 调到 0 与 1 之间的值，再观察曲线的升降趋势。
4. 在两种情况下观察曲线与 y 轴、x 轴的位置关系，以及是否过点 (1, 0)。
5. 归纳图像覆盖的 x 范围和 y 范围，得出定义域与值域。

实验现象与结论

无论 a 如何变化，曲线都只出现在 y 轴右侧，并且经过点 (1, 0)；纵向上曲线可向上、向下无限延伸。a>1 时曲线上升，0<a<1 时曲线下降。结论：定义域 (0, +∞)，值域 R，单调性由底数与 1 的大小关系决定。

常见问题

为什么对数函数的底数 a 不能等于 1？

a = 1 时 1 的任何次幂都等于 1，无法由 x 唯一确定 y，所以不构成对数函数，规定 a>0 且 a≠1。

为什么对数函数的定义域是 x>0？

由 y = log_a x 可得 x = a^y，而 a>0 时 a^y 恒大于 0，所以真数 x 必须为正数。