指数函数恒过定点 (0,1)

实验目的

理解指数函数图像恒过 (0,1) 的原因，会求指数型函数的定点。

实验原理

由零指数幂的规定，a^0 = 1（a>0 且 a≠1），所以 x=0 时 y 恒等于 1，图像必过 (0,1)，与 a 的大小无关。对 y = a^(x+1)+2，令 x+1=0 得 x=-1，此时 y=1+2=3，故图像恒过定点 (-1,3)。

实验器材

• 底数 a 的滑块
• 平面直角坐标系
• 函数 y = a^x 的图像
• 定点 (0,1) 的标记
• y 轴

实验步骤

1. 取 a=2，找到图像与 y 轴的交点。
2. 拖动 a，观察交点位置是否变化。
3. 分别取 a>1 和 0<a<1 的若干值，重复验证。
4. 在 x=0 处代入 y = a^x，算出 y=1。
5. 令指数为 0，求 y = a^(x+1)+2 的定点。

实验现象与结论

无论 a 如何变化，图像始终经过 (0,1)，只有弯曲方向和陡峭程度改变。结论：指数函数 y = a^x 恒过定点 (0,1)；求形如 y = a^(x-h)+k 的定点时，令 x-h=0，得定点 (h,1+k)。

注意事项

• 求定点时先令指数部分等于 0，再求 y 值。

常见问题

为什么指数函数一定过点 (0,1)？

因为任何不为 0 的数的 0 次幂都等于 1，所以 x=0 时 y=a^0=1，与底数 a 无关。

怎样求 y = a^(2x-4)+3 的定点？

令 2x-4=0 得 x=2，此时 y=a^0+3=4，所以图像恒过定点 (2,4)。