椭圆的定义(拉线作图)

实验目的

通过拉线作图理解椭圆的定义,认识焦点、焦距,以及绳长与焦距的关系。

实验原理

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆,F1、F2叫作焦点,|F1F2|=2c叫作焦距。设距离之和为2a,则标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),其中b²=a²-c²。绳长相当于2a。

实验器材

• 两个定点F1、F2
• 定长细绳
• 笔尖(动点M)
• 作图轨迹显示

实验步骤

1. 在平面上确定两个定点F1、F2
2. 把绳子的两端分别固定在F1、F2上
3. 用笔尖把绳子拉紧,使绳子保持绷直
4. 沿绳子绷紧的状态移动笔尖,观察轨迹
5. 改变两定点间的距离或绳长,比较椭圆形状

实验现象与结论

笔尖移动时,|MF1|+|MF2|始终等于绳长,轨迹是一个椭圆。两焦点越靠近,椭圆越接近圆。绳长等于|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;绳长小于|F1F2|时,无法作出图形。

注意事项

• 绳长必须大于两定点之间的距离
• 作图时要保持绳子始终拉紧

常见问题

为什么绳长要大于两定点之间的距离?

若绳长等于该距离,轨迹是线段;若小于,则作不出图形,所以必须大于才得到椭圆。

拉线作图中的绳长对应椭圆的什么量?

对应椭圆上任一点到两焦点的距离之和,即2a。