丹德林双球与圆锥曲线的焦点

实验目的

理解椭圆焦点的几何意义，认识丹德林双球证明椭圆定义的思路。

实验原理

平面截圆锥得椭圆，两球分别在截面两侧，与截面相切于F1、F2，与圆锥面相切于两个圆。椭圆上任一点P，过P的母线与两切圆交于Q1、Q2。由切线长相等得PF1=PQ1，PF2=PQ2，故PF1+PF2=Q1Q2。Q1Q2是两切圆之间的母线段，长度为定值，所以截口是以F1、F2为焦点的椭圆。

实验器材

• 圆锥面
• 截平面
• 上方内切球
• 下方内切球
• 两球与截面的切点F1、F2
• 椭圆上的动点P及过P的母线

实验步骤

1. 观察圆锥面和截平面，旋转视角看截口的形状。
2. 放入两个球，使它们都与圆锥面相切，并分别与截面相切。
3. 标出两球与截面的切点F1、F2，观察它们在椭圆内的位置。
4. 拖动椭圆上的点P，作出过P的母线，找到它与两切圆的交点Q1、Q2。
5. 比较PF1与PQ1、PF2与PQ2，验证PF1+PF2=Q1Q2。
6. 改变截面倾斜角，观察椭圆形状与焦点位置的变化。

实验现象与结论

两个球与截面的切点恰好是椭圆的两个焦点。点P在椭圆上移动时，PF1+PF2始终等于两切圆之间的母线段长，保持不变。截面越接近垂直于圆锥的轴，椭圆越接近圆，两个焦点也越靠近。

注意事项

• 证明依据是“从球外一点引球的切线，切线长相等”。
• 截平面不能与母线平行，否则截口不是椭圆。

常见问题

为什么两球的切点就是椭圆的焦点？

因为椭圆上任一点到这两个切点的距离之和恒等于定值，符合椭圆的定义，所以它们是焦点。

双曲线也能用丹德林双球说明吗？

可以。截面截到圆锥的两支时，两球分居截面两侧，|PF1-PF2|为定值，切点是双曲线的焦点。