离心率与圆锥曲线的形状

实验目的

理解离心率的几何意义，掌握 e 的取值范围与曲线类型的对应关系。

实验原理

平面内到定点 F 的距离与到定直线 l（F 不在 l 上）的距离之比为常数 e 的点的轨迹，是圆锥曲线。0<e<1 为椭圆，e=1 为抛物线，e>1 为双曲线。椭圆、双曲线中 e=c/a；椭圆 b²=a²-c²，双曲线 c²=a²+b²。c=0 时椭圆退化为圆，e=0。

实验器材

• 离心率 e 的滑块
• 焦点 F
• 准线 l
• 曲线上的动点 P
• P 到焦点与准线的距离比值显示
• a、b、c 参数显示

实验步骤

1. 把 e 调到接近 0，观察曲线接近圆。
2. 增大 e 但保持 0<e<1，观察椭圆逐渐变扁。
3. 把 e 调到 1，观察曲线变为抛物线。
4. 继续增大使 e>1，观察双曲线的开口变化。
5. 拖动曲线上的点 P，核对它到焦点与准线的距离之比是否等于 e。

实验现象与结论

0<e<1 时曲线为椭圆，e 越接近 0 越接近圆，越接近 1 越扁；e=1 时为抛物线；e>1 时为双曲线，e 越大开口越开阔。无论 P 在曲线上何处，它到焦点与到准线的距离之比始终等于 e。

常见问题

为什么椭圆的离心率小于 1，双曲线大于 1？

椭圆中 c<a，所以 e=c/a<1；双曲线中 c>a，所以 e=c/a>1。

圆的离心率是多少？

圆可看作 c=0 的椭圆，两个焦点重合于圆心，离心率 e=0。