直线与圆锥曲线位置关系（判别式）

实验目的

理解用判别式判断直线与圆锥曲线位置关系的方法，并注意特殊情形。

实验原理

把直线y=kx+m代入圆锥曲线方程，消去y得到关于x的方程。若是一元二次方程，则Δ>0时有两个交点（相交），Δ=0时有一个公共点（相切），Δ<0时无公共点（相离）。例如对椭圆x²/a²+y²/b²=1，Δ=4a²b²(a²k²+b²−m²)，相切条件为m²=a²k²+b²。若二次项系数为0，方程退化为一次方程，则只有一个交点。

实验器材

• 椭圆、双曲线或抛物线
• 直线y=kx+m
• 斜率k与截距m的调节滑块
• 联立后的一元二次方程
• 判别式Δ的数值
• 交点个数提示

实验步骤

1. 选择一种圆锥曲线，记下它的标准方程。
2. 设直线为y=kx+m，调节k和m，观察直线位置的变化。
3. 把直线方程代入曲线方程，写出消元后的一元二次方程。
4. 读出判别式Δ的值，对照图形判断交点个数。
5. 调节参数使Δ=0，观察直线与曲线相切的情形。
6. 调到二次项系数为0的情形，观察此时交点的变化。

实验现象与结论

Δ>0时直线与曲线有两个交点，Δ=0时恰有一个公共点（一般为相切），Δ<0时没有交点。对双曲线，直线与渐近线平行时只有一个交点；对抛物线，直线与对称轴平行时也只有一个交点。这两种情形二次项系数为0，不是相切。

注意事项

• 先确认二次项系数是否为0，再用判别式。
• 联立消元后注意化简，避免计算错误。
• 只有一个公共点不一定是相切。

常见问题

直线与圆锥曲线只有一个公共点一定相切吗？

不一定。直线与双曲线渐近线平行或与抛物线对称轴平行时，也只有一个交点，但不是相切。

用判别式时要先检查什么？

先看消元后二次项系数是否为0。为0时方程是一次方程，不能直接用Δ判断。