用平面截圆锥得到圆锥曲线

实验目的

认识截平面位置与截线形状的关系，理解圆锥曲线的由来。

实验原理

设圆锥母线与轴的夹角为 θ，截平面与轴的夹角为 α（不过顶点）。α=90° 时截线为圆；θ<α<90° 时为椭圆；α=θ（截平面平行于一条母线）时为抛物线；α<θ 时截平面与上下两个锥面都相交，截线为双曲线的两支。

实验器材

• 双锥面（圆锥）模型
• 可旋转、可平移的截平面
• 截线显示
• 截平面与轴夹角 α 的读数
• 母线与轴夹角 θ

实验步骤

1. 先让截平面垂直于圆锥的轴，观察截线为圆。
2. 把截平面略微倾斜，使它与所有母线相交，观察截线变为椭圆。
3. 继续增大倾斜，直到截平面平行于一条母线，观察抛物线。
4. 再继续倾斜，使截平面同时截到上下两个锥面，观察双曲线的两支。
5. 平移截平面，确认截线形状只取决于夹角，不取决于截平面的高低。

实验现象与结论

截平面垂直于轴得圆；稍倾斜且与所有母线相交得椭圆；平行于一条母线得抛物线；与上下两个锥面都相交得双曲线的两支。截线类型由 α 与 θ 的大小关系决定。

常见问题

截平面过圆锥顶点时会得到什么？

会得到退化情形：一个点、一条直线或两条相交直线，不是椭圆等曲线。

怎样判断截线是抛物线？

当截平面平行于圆锥的某一条母线时，截线是抛物线。