圆的方程

实验目的

掌握圆的标准方程和一般方程,会求圆心、半径,并判断点与圆的位置关系。

实验原理

圆心为(a,b)、半径为r的圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²。展开得一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0,其中D²+E²-4F>0,圆心为(-D/2,-E/2),半径为√(D²+E²-4F)/2。点到圆心的距离与r比较,可判断点与圆的位置。

实验器材

• 平面直角坐标系
• 圆心
• 可调半径的圆
• 圆上或圆外的动点
• 方程显示区

实验步骤

1. 观察默认圆,读出圆心和半径
2. 改变圆心位置,观察方程中a、b的变化
3. 改变半径,观察方程右边r²的变化
4. 把标准方程展开成一般方程,对照D、E、F
5. 拖动一个点,比较它到圆心的距离与半径

实验现象与结论

圆心移动时,圆的形状不变,只是位置改变,标准方程中的a、b随之变化。半径改变时,圆变大或变小。点到圆心的距离小于r时在圆内,等于r时在圆上,大于r时在圆外。

注意事项

• 一般方程要先检验D²+E²-4F是否大于0
• 标准方程中圆心坐标的符号与括号内相反

常见问题

x²+y²+Dx+Ey+F=0一定表示圆吗?

不一定。只有D²+E²-4F>0时才表示圆,等于0是一个点,小于0不表示图形。

怎样由一般方程求圆心和半径?

圆心为(-D/2,-E/2),半径为√(D²+E²-4F)的一半。也可以配方化成标准方程。