三角函数的周期性与奇偶性

实验目的

理解三角函数的周期性与奇偶性，并能判断它们的最小正周期。

实验原理

若存在非零常数T，使f(x+T)=f(x)恒成立，则T是f的周期。sin x、cos x的最小正周期是2π，tan x的最小正周期是π。因为sin(−x)=−sin x，tan(−x)=−tan x，所以二者为奇函数，图像关于原点对称。因为cos(−x)=cos x，所以cos x为偶函数，图像关于y轴对称。

实验器材

• y=sin x、y=cos x、y=tan x的图像
• 可调的平移量T
• 关于y轴的对称线
• 关于原点的对称标记

实验步骤

1. 选择y=sin x，把图像向左平移2π，观察是否与原图重合
2. 尝试平移小于2π的距离，观察是否重合
3. 对y=cos x和y=tan x重复平移，找出它们的最小平移量
4. 把y=cos x沿y轴翻折，观察是否与原图重合
5. 把y=sin x和y=tan x绕原点旋转180°，观察是否重合

实验现象与结论

sin x、cos x平移2π后与原图重合，tan x平移π后重合，小于这些值的平移都不重合，说明最小正周期分别为2π、2π、π。cos x沿y轴翻折后重合，是偶函数；sin x、tan x绕原点旋转180°后重合，是奇函数。

常见问题

正切函数的最小正周期为什么是π？

因为tan(x+π)=tan x，且不存在比π更小的正数使等式恒成立，所以最小正周期是π。

怎样判断三角函数是奇函数还是偶函数？

先看定义域是否关于原点对称，再比较f(−x)与f(x)：相等为偶函数，互为相反数为奇函数。