对数函数图像恒过定点 (1, 0)

实验目的

发现并解释对数函数图像恒过定点 (1, 0)。

实验原理

对数函数 y = log_a x（a>0，且 a≠1）的定义域为 (0, +∞)。因为 a^0 = 1，所以 log_a 1 = 0 对任意符合条件的a都成立，因此图像恒过点 (1, 0)。当 a>1 时函数在定义域上单调递增，当 0<a<1 时单调递减。

实验器材

• y=log_a x 的函数图像
• 底数a的调节控件
• 定点 (1, 0) 的标记
• x=1 处函数值的读数

实验步骤

1. 在 a>1 的范围内选取底数，观察图像走势。
2. 读取 x=1 时的函数值。
3. 把a调到 0<a<1 的范围，再观察图像。
4. 再次读取 x=1 时的函数值，与前一次对比。
5. 写出 log_a 1 = 0 的理由。

实验现象与结论

不论a如何变化，曲线始终经过点 (1, 0)，图像都位于y轴右侧。a>1 时曲线上升，0<a<1 时曲线下降。结论：对数函数图像恒过定点 (1, 0)，其原因是 log_a 1 = 0。

常见问题

对数函数为什么一定过点 (1, 0)？

因为 a^0=1，所以 log_a 1=0，与底数a的大小无关。

y=log_a(x+2) 过哪个定点？

令 x+2=1，得 x=-1，函数值为0，所以过定点 (-1, 0)。