指数函数的单调性与值域

实验目的

掌握指数函数的单调性和值域，并会用单调性比较大小。

实验原理

指数函数 y = a^x 的定义域为 R。a>1 时在 R 上是增函数，0<a<1 时在 R 上是减函数。因为 a^x>0 恒成立，且 x 变化时 y 可取到任意正数，所以值域为 (0,+∞)。图像在 x 轴上方，与 x 轴无限接近但不相交。

实验器材

• 底数 a 的滑块
• 函数 y = a^x 的图像
• 图像上可移动的取点
• 坐标读数（x 与 y 的值）
• x 轴

实验步骤

1. 设 a>1，沿 x 轴从左向右移动取点，记录 y 的变化。
2. 设 0<a<1，重复上述操作，比较变化趋势。
3. 将取点移到 x 很小或很大处，观察 y 是否会等于 0。
4. 观察图像是否出现在 x 轴下方。
5. 利用单调性比较两个同底指数式的大小。

实验现象与结论

a>1 时 y 随 x 增大而增大，0<a<1 时 y 随 x 增大而减小。y 的值始终为正，可以无限接近 0，但不会等于 0。结论：y = a^x 的值域为 (0,+∞)，a>1 时递增，0<a<1 时递减。

注意事项

• 比较大小时，先看底数是否大于 1，再看指数大小。

常见问题

指数函数的值域为什么不包含 0？

因为 a^x>0 对任意实数 x 都成立，y 不可能等于 0，也不可能为负数，所以值域是 (0,+∞)。

怎样比较 0.8^0.3 与 0.8^0.5 的大小？

底数 0.8 在 (0,1) 内，函数递减，又 0.3<0.5，所以 0.8^0.3 > 0.8^0.5。